Prova tu stesso! Credito immagine: Smit/Shutterstock.com
Se avessi chiesto a G H Hardy – lo studioso di Cambridge responsabile di innumerevoli risultati e sviluppi matematici seminali dei primi anni del XX secolo – quale fosse la sua area preferita della matematica, avrebbe risposto senza esitazione: la teoria dei numeri. Scrisse in “A Mathematician’s Apology” che è “uno dei rami più ovviamente inutili” della matematica, e quindi coloro che la studiano “possono essere giustificati nel rallegrarsi che la sua stessa lontananza dalle attività umane ordinarie la mantenga gentile e pulita.”
Beh, senza mancare di rispetto a Hardy, ma non poteva essere più in errore. Dalla sua morte nel 1947, il mondo ha visto l’ascesa di schemi di crittografia a chiave pubblica come RSA; sistemi informatici per generare numeri casuali (o almeno pseudocasuali); innumerevoli algoritmi informatici per la correzione degli errori e la generazione e memorizzazione delle immagini; reti di comunicazione cellulare, ottimizzate con tecniche basate sulla teoria delle forme modulari – la lista continua, e continua, e continua.
Ma c’è un’applicazione molto più umile della teoria dei numeri di cui potresti non aver sentito parlare – anche se è probabilmente molto più importante, per esempio, del segnale del tuo cellulare. E se vuoi vederla di persona, devi solo guardare al tuo supermercato locale.
Cosa sono le cifre di controllo?
Immagina di essere un barista in Florida, e un ragazzo che sembra appena abbastanza grande per votare ti consegna la sua patente di guida e chiede un old fashioned. Sospettoso, controlli i dettagli sulla carta: vedi una data di nascita del 24 gennaio e un numero di patente che termina con 162. Lo rifiuti con un sorrisetto. “Bel tentativo, ragazzo,” dici, “ma questa ID è falsa. Prova al bar in fondo alla strada; i loro camerieri non hanno sentito parlare delle cifre di controllo.”
Come sapevi che il ragazzo stava mentendo? Bene, secondo il Cornell Math Explorers’ Club, stati come l’Illinois e la Florida hanno regole particolari su come creano i numeri delle patenti di guida. Tengono conto del tuo nome, sesso e data di nascita – e aggiungono una cifra di controllo alla fine. Ma cosa significa?
Bene, una cifra di controllo è praticamente ciò che sembra: è una cifra (o cifre) che fornisce un modo per controllare il numero precedente. È una sorta di funzione di sicurezza, ma non di vitale importanza – piuttosto che proteggere contro il furto d’identità o qualcosa del genere, è più lì per assicurarsi che non scambi accidentalmente due numeri, o legga male un 8 consumato come un 3, per esempio.
Quindi, per la tua patente di guida della Florida, gli emittenti “usano funzioni lineari per codificare il mese e la data di nascita in un numero a tre cifre che diventa le ultime tre cifre del numero della patente di guida,” spiega l’Explorers’ Club. “Per i maschi in Florida le ultime tre cifre sono date da 40(m – 1) + b, dove m è il mese e b è la data di nascita […] Per una femmina aggiungono poi 500 a questo numero.”
Un giovane nato il 24 gennaio, quindi, avrebbe una patente che termina in 024 – cioè 40 × (1 – 1) + 24. La patente che ti è stata consegnata nel nostro ipotetico, che termina con 162? Apparterrebbe a qualcuno nato il 2 maggio. È falsa.
Dove troviamo le cifre di controllo?
Viviamo in un’epoca dominata dai numeri, e come tale, le cifre di controllo hanno (ironicamente) innumerevoli usi. I libri, per esempio, sono identificati universalmente da numeri unici chiamati International Standard Book Numbers (ISBN). Questi possono essere lunghi 10 o 13 cifre, a seconda dell’età del libro, e l’ultima di queste è una cifra di controllo. Sfortunatamente, trovare quella cifra è molto più complicato dell’esempio della patente di guida della Florida.
“Ognuna delle prime 12 cifre dell’ISBN è moltiplicata alternativamente per 1 e 3,” spiega il Manuale degli Utenti ISBN; “La cifra di controllo è uguale a 10 meno il resto risultante dalla divisione della somma dei prodotti ponderati delle prime 12 cifre per 10 con un’eccezione. Se questo calcolo risulta in una cifra di controllo apparente di 10, la cifra di controllo è 0.”
Altri prodotti non hanno ISBN, ma hanno codici a barre universali (UPC), o per dirla in un altro modo: quelle lunghe stringhe di numeri che hai visto sotto i codici a barre. Contenuti all’interno di quei codici apparentemente casuali ci sono – l’hai indovinato – cifre di controllo: “trova un oggetto con un codice a barre a 13 cifre. (Se sei negli Stati Uniti, anche un codice a barre a 12 cifre funzionerà, se immagini uno 0 in più davanti),” scrive Katie Steckles in New Scientist questo mese; “Somma le prime, terze, quinte cifre e così via, per ottenere la somma delle cifre dispari; poi, somma le cifre pari. Se triplichi la somma pari, e poi la aggiungi alla somma dispari originale, il totale dovrebbe essere un multiplo di 10, terminando in 0.”
Le carte di credito hanno cifre di controllo, “il che significa che un sito web può dirti che l’hai inserita in modo errato prima ancora di controllare con la tua banca,” spiega Steckles; se sei nel Regno Unito, l’ultimo elemento nel tuo numero NHS a 10 cifre è una cifra di controllo – per trovarla, basta prendere le prime nove cifre; moltiplica la prima per 10, la seconda per 9, la terza per 8, e così via, e poi somma i risultati. Dividi il totale per 11, e il resto è la tua cifra di controllo (quindi, per esempio, un numero NHS che inizia con 555555555 dovrebbe terminare con un 6 – perché 50 + 45 + 40 + 35 + 30 + 25 + 20 + 15 + 10 = 270 = 24 × 11 + 6.)
Non infallibile – ma utile
Le cifre di controllo non sono infallibili – alcuni algoritmi non possono distinguere tra sequenze come 1 e 00001, per esempio; altri cattureranno cifre errate, ma mancheranno coppie scambiate. Anche se l’algoritmo funziona perfettamente, potrebbe comunque sbagliare la risposta – considera, per esempio, l’algoritmo della cifra di controllo del codice a barre: stai lavorando modulo 10, quindi c’è una possibilità su dieci che funzioni comunque.
Ma nel complesso, le cifre di controllo sono un piccolo trucco con un grande ritorno. Possono risparmiarti ore di frustrazione chiedendoti perché i dettagli della tua carta di credito non sono accettati, o fornire un modo rapido per controllare se la tua auto ha VIN rubati; possono fornire un trucco straordinariamente nerd per le feste, o rovinare la serata ipotetica di un adolescente della Florida. E, con grande dispiacere di Hardy, è tutto grazie alla teoria dei numeri. Lunga vita alla regina della matematica.