La vita è piena di grandi decisioni, e fare una scelta tra opzioni apparentemente infinite può essere – beh, paralizzante. Dovresti comprare questo appartamento o quell’altro? Condividere con questo coinquilino o con qualcun altro? Accontentarti di Mr. Abbastanza-Perfetto o aspettare di vedere se arriva Mr. Perfetto? È abbastanza per farti disperare – ma non temere: la scienza ha la soluzione. Beh, la matematica, in ogni caso.
Ottimizzare le tue opzioni
Come un numero forse sorprendente di curiosità matematiche, questa ha trovato fama come un puzzle “per divertimento” proposto da Martin Gardner (il resto, ovviamente, è stato proposto da John Conway). Era l’anno 1960, quindi il rompicapo è stato formulato come “il Problema del Segretario” e funzionava così: devi assumere un segretario; ci sono n candidati, da intervistare e accettare o rifiutare, in ordine casuale; puoi classificarli in base all’idoneità senza parità; una volta rifiutato, un candidato non può essere richiamato; è tutto o niente – non sarai soddisfatto del quarto o del secondo miglior candidato qui. Altre configurazioni includevano il “problema del fidanzato” (stessa idea, ma stai cercando un fidanzato invece di un segretario) e il “gioco del googol” – in quella versione, stai girando foglietti di carta per rivelare numeri finché non decidi di aver probabilmente trovato il più grande di tutti. Comunque tu lo giochi, la domanda è la stessa: come puoi massimizzare la probabilità di scegliere la migliore opzione disponibile?
La risposta è… sorprendentemente prevedibile, a quanto pare.
La regola del 37 percento
Espresso a parole, questo è un problema complesso e inaccessibile. In matematica, è piuttosto semplice. “Questo problema di base ha una soluzione sorprendentemente semplice,” scrisse il matematico e statistico Thomas S. Ferguson nel 1989. “Prima di tutto, si dimostra che l’attenzione può essere limitata alla classe di regole che per qualche intero r > 1 rifiuta i primi r – 1 candidati, e poi sceglie il prossimo candidato che è il migliore nella classifica relativa dei candidati osservati.”
Quindi, quando ti trovi di fronte a una serie di scelte casuali e vuoi scegliere il meglio che ti viene offerto, la prima cosa che devi fare è… rifiutare tutti. Cioè, fino a un certo punto – e una volta raggiunto quel punto, accetta semplicemente il prossimo candidato, corteggiatore o foglietto di carta, che supera tutto ciò che hai visto finora. La domanda ora è semplice: quando raggiungi quel punto?
Bene, diciamo che il punto di arresto è il m-esimo candidato – tutti fino a quel momento vengono rifiutati. Ora, se il miglior candidato è il (m+1)-esimo, congratulazioni, lo accetterai e avrai la migliore assunzione possibile. Ma cosa succede se il miglior candidato è il (m+2)-esimo? Bene, allora abbiamo due modi in cui questo potrebbe andare: o il (m+1)-esimo era migliore dei primi m, ma non il migliore possibile, nel qual caso sfortuna – non ottieni il miglior candidato, perché hai già scelto il loro predecessore – oppure hai rifiutato il (m+1)-esimo e accetti il (m+2)-esimo.
Ora, naturalmente, vogliamo il secondo scenario, non il primo – quindi ecco una buona notizia: su tutte le disposizioni dei primi (m+1) candidati, ci sono solo 1/(m+1) scenari in cui accetterai il (m+1)-esimo piuttosto che il (m+2)-esimo. Ciò significa che ci sono ancora m/(m+1) scenari in cui resisti e ottieni il migliore.
Ok, quindi cosa succede se il miglior candidato è seduto al (m+3)-esimo? Bene, viene accettato solo se né il candidato (m+1) né il candidato (m+2) superano tutti quelli prima di loro – e ciò accade solo nel 2/(m+2) dei casi. Ancora una volta, ciò significa che resisti per il migliore nel m/(m+2) dei casi. Forse stai già vedendo un modello: in generale, se l’n-esimo candidato è il migliore, verrà accettato m/(n – 1) volte su (n – 1). Man mano che lasciamo crescere n all’infinito, questo modello diventa un limite.
“La probabilità, ϕ(r), di selezionare il miglior candidato è 1/n per r = 1,” spiega Ferguson, “e, per r > 1 […] la somma diventa un’approssimazione di Riemann a un integrale,
Ora la domanda è: come massimizziamo quel valore? E la risposta è in realtà piuttosto semplice: imposti x a 1/e, che è approssimativamente 0,368. A causa del modo in cui funzionano i logaritmi e gli esponenti, ciò significa che ϕ(r) = 0,367879… anche. In altre parole, “è approssimativamente ottimale aspettare fino a quando circa il 37% dei candidati è stato intervistato e poi selezionare il prossimo relativamente migliore,” spiegò Ferguson. “La probabilità di successo è anche circa del 37%.”
Potrebbe non sembrare molto impressionante – dopotutto, è solo poco più di una possibilità su tre di trovare l’opzione migliore possibile. Ma quando consideri l’alternativa, è incredibile: “Se scegliessi di non seguire questa strategia e invece optassi per sistemarti con un partner a caso, avresti solo una possibilità su n di trovare il tuo vero amore, o solo il 5 percento se sei destinato a uscire con 20 persone nella tua vita, per esempio,” scrisse Hannah Fry, Professore di Comprensione Pubblica della Matematica all’Università di Cambridge, nel suo libro del 2015 “The Mathematics of Love: Patterns, Proofs, and the Search for the Ultimate Equation.”
“Ma rifiutando il primo 37 percento dei tuoi amanti e seguendo questa strategia, puoi cambiare drammaticamente le tue fortune, fino a un impressionante 38,42 percento per un destino con 20 potenziali amanti.”
Funziona davvero?
Quindi: 37 percento. Non importa cosa stai scegliendo; quante opzioni hai; tutto si riduce a quella percentuale così importante. Sembra un po’ troppo bello per essere vero, non è vero?
“Sono un matematico e quindi di parte, ma questo risultato mi lascia letteralmente a bocca aperta,” scrisse Fry. “Hai tre mesi per trovare un posto dove vivere? Rifiuta tutto nel primo mese e poi scegli la prossima casa che arriva che è la tua preferita finora. Stai assumendo un assistente? Rifiuta il primo 37 percento dei candidati e poi dai il lavoro al prossimo che preferisci sopra tutti gli altri.”
Quindi, se la logica è solida e la matematica è corretta – cosa che è – perché questo risultato sembra così sbagliato? Bene, come ha sottolineato Fry in un Ted Talk del 2014, ci sono alcuni intoppi del mondo reale che possono essere lanciati: “questo metodo comporta alcuni rischi,” ha detto; “Ad esempio, immagina se il tuo partner perfetto apparisse durante il tuo primo 37 percento. Ora, sfortunatamente, dovresti rifiutarlo.” Ma “se stai seguendo la matematica,” ha continuato, “temo che nessun altro venga che sia migliore di chiunque tu abbia visto prima, quindi devi continuare a rifiutare tutti e morire da solo.”
Tuttavia, c’è un modo per evitare di finire come cibo per gatti: abbassa i tuoi standard. “La matematica presume che tu sia interessato solo a trovare il miglior partner possibile disponibile per te,” scrisse Fry. “Ma […] in realtà, molti di noi preferirebbero un buon partner piuttosto che essere soli se Il Prescelto non è disponibile.”
Quindi, certo, hai circa il 37 percento di possibilità di trovare Il Prescelto rifiutando il primo 37 percento che arriva – ma cosa succede se ti va bene trovare solo Uno Dei Migliori 5 Percento, diciamo? Bene, in tal caso, il tuo punto di arresto è più basso: “se rifiuti i partner che appaiono nel primo 22 percento della tua finestra di appuntamenti e scegli la prossima persona che arriva che è migliore di chiunque tu abbia incontrato prima […] ti sistemerai con qualcuno entro il top 5 percento dei tuoi potenziali partner un impressionante 57 percento delle volte,” spiegò Fry.
Accetta chiunque dal top 15 percento delle potenziali corrispondenze, e le tue possibilità salgono ancora di più. Quindi, devi solo rifiutare il primo 19 percento che arriva – e puoi aspettarti una probabilità di successo quasi quattro su cinque. E ammettiamolo: quando si tratta di amore, quelle non sono cattive probabilità. Batte l’astrologia, in ogni caso.